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Qu'est-ce qu'une primitive
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  • F est une primitive de f sur un intervalle I, si 
    F est une primitive de f sur un intervalle I, si:
    • F est dérivable sur I
    • pour tout x de I, F'(xDe Bravo Coup Vidéo Gueule Christine PZ0wONkX8n)=f(x)
  • Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f 
    les primitives de f sont de la forme x→F(x)+38 Format Ciel Grimms Arc Grand En Cm Yb7g6fyk
    Autrement dit, si F et G sont 2 primitives de f alors la fonction F-G est constante
  • Si F est une primitive de f sur I, quels que soient x0 de I et y0  
    il existe une unique primitive G de f telle que G(x0)=y0
    Autrement dit, il existe une seule primitive dont la courbe passe par un point donné (x0;y0)
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  • Toute fonction continue sur un intervalle 
    Toute fonction continue sur un intervalle, admet des primitives sur cet intervalle.




Quelles sont les formules sur les primitives et comment les retenir

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♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo
Il suffit de dériver la 2ième colonne pour obtenir la 1ère
C'est tout simplement le tableau des dérivés à l'envers !

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Primitives des fonctions usuelles
f(x)F une primitive de fValiditéExemple
k constante  
$F(x)=kx$
\(\mathbb{R}\) f(x) = 3 F(x)=
\[F(x)=3x\]
    
x  
$F(x)=\frac 12 x^2$
\(\mathbb{R}\)
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$x^n$
n: est un entier positif
 
$F(x)=\frac 1{n+1} x^{n+1}$
\(\mathbb{R}\) f(x) = x4 F(x)=
$F(x)=\frac 15 x^5$
    
\[\frac 1{x^n}\]
$n$ est entier et $n\ge 2$
Penser à écrire: \[\frac 1{x^n}=x^{-n}\]
 
$F(x)=\frac1{-n+1}x^{-n+1}$
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]-∞;0[∪]0;+∞[ $\frac 1{x^4}$ F(x)=
\[F(x)=\frac1{-3}x^{-3}=-\frac 1{3x^3}\]
    
\[\frac 1x\]  
$F(x)=\ln x$
]0;+∞[
\[\frac 1{\sqrt x}\]  
$F(x)=2\sqrt x$
]0;+∞[
$e^x$  
$F(x)=e^x$
\(\mathbb{R}\)
eax
a: réel non nul
 
\[F(x)=\frac {e^{ax}}{a}\]
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\(\mathbb{R}\) $f(x)=e^{-2x}$ F(x)=
\[F(x)=-\frac {e^{-2x}}{2}\]
    
sin x  
\[F(x)=-\cos x\]
\(\mathbb{R}\)
cos x  
\[F(x)=\sin x\]
\(\mathbb{R}\)

Il suffit de dériver la 2ième colonne pour obtenir la 1ère
C'est tout simplement le tableau des dérivés à l'envers !
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Primitives des fonctions composées
f(x)F une primitive de fConditionExemple
\[u'u^n\]
n: est un entier positif
    
 
\[F=\frac 1{n+1} u^{n+1}\]
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aucune f(x) = (2x+1)(x²+x)4 F(x)=     
\[\frac{u'}{u^n}\]
$n$ est entier et $n\ge 2$
Penser à écrire: \[\frac {u'}{u^n}=u'\cdot u^{-n}\]
 
\[F=\frac 1{-n+1}u^{-n+1}\]
u ne s'annule pas sur I f(x) =
2x+1 / (x²+x)4
F(x)= Menderwear Bain De Boxer Sailor Marine A54jl3qr TKcF1J3u5l
\[F(x)=-\frac 13 \left( x^2+x\right)^{-3}\]
    
\[\frac {u'}u\]   u strictement positive sur I f(x) =
2x / x²+1
F(x)=
\[F(x)=\ln\left(x^2+1\right)\]
    
\[\frac {u'}{\sqrt u}\]  
\[F=2\sqrt u\]
u strictement positive sur I f(x) =
2x+2 / x²+2x+2
F(x)=
\[F(x)=2\sqrt{x^2+2x+2}\]
    
\[u'e^u\]  
\[F=e^u\]
aucune f(x)=-2x×e1-x² F(x)=
\[F(x)=e^{1-x^2}\]
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u est une fonction dérivable sur un intervalle I







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Comment déterminer une primitive

♦ Pour le savoir, regarde le cours en vidéo
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Exercices 1:

Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre


Exercices 2:

Vérifier qu'une fonction F est une primitive de f

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On considère les fonctions \(F\) et \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[F(x)=\frac13(2x+1)^3\] et \(f(x)=(2x+1)^2\).
\(F\) est-elle une primitive de \(f\)? Justifier.
Corrigé en vidéo!
Exercices 3: Déterminer une primitive d'une fonction du type De Bravo Coup Vidéo Gueule Christine PZ0wONkX8n\[x^n\], \[\frac1{x^n}\], \[\frac1x\], avec des puissances
Déterminer, dans chaque cas, une primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur l'intervalle I: De Bravo Coup Vidéo Gueule Christine PZ0wONkX8n
a) \[f(x)=\frac{2x^4}3\] et I=\(\mathbb{R}\)b) \[f(x)=\frac5{2x^3}\] et I=\(]0;+\infty[\)
c) \[f(x)=\frac5{7x}\] et I=\(]0;+\infty[\)d) \[f(x)=-\frac{3}{x^2}+\frac 2{5x}+3x-2\] et I=\(]0;+\infty[\)
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Exercices 4:

Déterminer une primitive d'une fonction avec un quotient

Déterminer, dans chaque cas, une primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur l'intervalle I:
a) \[f(x)=\frac5{2x-1}\] et I=\(]\frac12;+\infty[\)b) \[f(x)=\frac{x+2}{(x^2+4x)^3}\] et I=\(]0;+\infty[\)
c) \[f(x)=\frac{\ln x}x\] et I=\(]0;+\infty[\)
Exercices 5:

Primitive de la fonction ln (logarithme népérien)


On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \[f(x)=x\ln x\].
1) Déterminer \(f'(x)\).
De Bravo Coup Vidéo Gueule Christine PZ0wONkX8n 2) En déduire une primitive de la fonction ln.
Exercices 6: Déterminer une primitive de f
Déterminer, dans chaque cas, une primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur l'intervalle I:Noir Ensemble Islamique 03 Maillot De Bain 0334 cAjL4q3S5R
a) \[f(x)=e^{2x}\] et I=\(\mathbb{R}\) b) \[f(x)=\frac 1{\sqrt x}\] et I=\(]0;+\infty[\) c) \[f(x)=\sin x+\cos{2x}\] et I=\(\mathbb{R}\)
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Exercices 7:

Déterminer a et b puis une primitive à l'aide d'une décomposition

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]1;+\infty[\) par \[f(x)=\frac{x-6}{(x-1)^2}\].
1) Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que pour tout \(x\in]1;+\infty[\), \[f(x)=\frac a{x-1}+\frac b{(x-1)^2}\].
2) En déduire une primitive \(F\) de \(f\) sur \(]1;+\infty[\).
Exercices 8:

Déterminer la primitive vérifiant ... - passant par un point donné


On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f(x)=\frac{x^2+x+1}4\].
Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) dont la courbe passe par le point \(A(2;1)\).
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Exercices 9: Reconnaitre la courbe d'une primitive - Même genre que

Baccalauréat S métropole septembre 2013

exercice 1
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Exercices 10:

Primitive et Physique

-

Deuxième loi de Newton

- Exercice type Bac
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Exercices 11:

Primitive de $f(x)=xe^x$

par 2 méthodes - Exercice type Bac
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=xe^x$.
Partie A - Méthode 1
     Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $\rm F$ définie sur $\mathbb{R}$ par ${\rm F}(x)=(ax+b)e^x$ soit
    une primitive de $f$.
Partie B - Méthode 2
     1. Trouver une relation entre $f$ et $f'$.
     2. En déduire une primitive $\rm F$ de $f$.

Primitive d'une fonction : Exercices à Imprimer

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